Całki niewłaściwe

Właściwości całki ze względu na przedział całkowania (całka I rodzaju)

Przypomnijmy, że pojęcie całki oznaczonej Riemanna zostało przez nas zdefiniowane dla funkcji ograniczonej, określonej na przedziale domkniętym i ograniczonym. Ze względu na praktyczne zastosowania istnieje potrzeba rozszerzenia tego pojęcia na przypadek funkcji działającej na przedziale nieograniczonym lub funkcji nieograniczonej.
Na początek zdefiniujmy całkę niewłaściwą funkcji określonej na przedziale postaci $ [a,+\infty) $, następnie $ (-\infty,b] $, a dalej na całym zbiorze liczb rzeczywistych.

Definicja 1: Całka niewłaściwa Riemanna I rodzaju w przedziale $ [a,+\infty) $ lub $ (-\infty,b] $

Niech $ f:[a,+\infty) \to \mathbb{R} $ będzie funkcją całkowalną w sensie Riemmana na każdym z przedziałów domkniętych $ [a,\beta] $, gdzie $ a < \beta $. Całką niewłaściwą Riemanna I rodzaju funkcji $ f $ nazywamy granicę

$ \lim\limits_{\beta \to +\infty} \int\limits_a^{\beta} f(x)dx $

i oznaczamy ją symbolem

$ \int\limits_a^{+\infty} f(x)dx $

Jeżeli powyższa granica istnieje i jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa $ \int_a^{+\infty} f(x)dx $ jest zbieżna, natomiast jeżeli granica ta nie istnieje lub jest niewłaściwa, to mówimy, że całka niewłaściwa $ \int_a^{+\infty} f(x)dx $ jest rozbieżna.

$Interpretacja geometryczna całki niewłaściwej Riemanna I rodzaju w przedziale $ [a, +\infty) $$

Rysunek 1: Interpretacja geometryczna całki niewłaściwej Riemanna I rodzaju w przedziale $ [a, +\infty) $

W analogiczny sposób definuje się całkę niewłaściwą Riemanna I rodzaju $ \int_{-\infty}^b f(x)dx $ funkcji $ f $ określonej na przedziale $ (-\infty,b] $, jak również pojęcia jej zbieżności i rozbieżności. Przyjmujemy wówczas, że

$ \int\limits_{-\infty}^b f(x)dx:=\lim\limits_{\alpha \to -\infty} \int\limits_{\alpha}^b f(x)dx. $

$Interpretacja geometryczna całki niewłaściwej Riemanna I rodzaju w przedziale $ (-\infty,b] $$

Rysunek 2: Interpretacja geometryczna całki niewłaściwej Riemanna I rodzaju w przedziale $ (-\infty,b] $

Definicja 2: Całka niewłaściwa Riemanna I rodzaju w zbiorze liczb rzeczywistych

Niech $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ będzie funkcją całkowalną w sensie Riemanna w każdym przedziale domkniętym $ [\alpha,\beta] $ zawartym w $ \mathbb{R} $. Całkę niewłaściwą Riemanna I rodzaju funkcji $ f $ w $ \mathbb{R} $ definujemy jako

$ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx := \int\limits_{-\infty}^{a} f(x)dx + \int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx, $

gdzie $ a $ jest dowolnie wybranym punktem z $ \mathbb{R} $. Jeżeli obie całki w powyższej sumie są zbieżne, to mówimy, że całka $ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx $ jest zbieżna. Gdy któraś z tych całek nie istnieje lub jest rozbieżna, to mówimy, że całka $ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx $ jest rozbieżna.

Należy podkreślić, że jeżeli całka $ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx $ jest zbieżna, to można wykazać, że jej wartość nie zależy od wyboru punktu $ a \in \mathbb{R} $ w powyższej definicji.

Przykład 1:

Obliczmy całkę $ \int_0^{+\infty} \frac{dx}{1+x^2} $. Otóż

$ \int\limits_0^{+\infty} \frac{dx}{1+x^2}=\lim\limits_{\beta \to +\infty} \int\limits_0^\beta \frac{dx}{1+x^2}=\lim\limits_{\beta \to +\infty} {\rm arctg}\, x \Big|_0^{\beta}=\lim\limits_{\beta \to +\infty} ({\rm arctg}\, \beta - {\rm arctg}\, 0)= \frac{\pi}{2} - 0 =\frac{\pi}{2}. $

Otrzymana wartość liczbowa może być interpretowana jako pole obszaru pomiędzy prostą $ x=0 $, dodatnią półosią $ OX $
a wykresem nieujemnej funkcji podcałkowej $ x \mapsto \frac{1}{x^2+1}. $

$Pole obszaru pomiędzy prostą $x=0$, osią $OX$ oraz wykresem funkcji $ x \mapsto \frac{1}{x^2+1} $$

Rysunek 3: Pole obszaru pomiędzy prostą $x=0$, osią $OX$ oraz wykresem funkcji $ x \mapsto \frac{1}{x^2+1} $

Przykład ten pokazuje, że pole nieograniczonego obszaru na płaszczyźnie może być skończone.

Przykład 2:

Przy ustalonej liczbie $ a > 0 $ zbadajmy zbieżność całki $ \int_a^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx $ w zależności od wartości parametru $ p \in \mathbb{R} $.
Przypadek 1. $ p \neq 1 $.

$ \begin{aligned}\int\limits_a^{+\infty} \frac{dx}{x^p}&=\int\limits_a^{+\infty} x^{-p} dx=\lim\limits_{\beta \to +\infty} \int\limits_a^{\beta} x^{-p} dx=\lim_{\beta \to +\infty}\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\Big|_a^{\beta} \\ &= \lim\limits_{\beta \to +\infty} \frac{1}{(1-p)x^{p-1}} \Big|_a^{\beta}=\frac{1}{1-p} \lim\limits_{\beta \to {+\infty}}\Big(\frac{1}{{\beta}^{p-1}} -\frac{1}{a^{p-1}}\Big).\end{aligned} $

Zauważmy, że

$ \lim\limits_{\beta \to +\infty} \frac{1}{{\beta}^{p-1}}=\left\{\begin{array}{ll}+\infty, & \text{ gdy } p-1 < 0, \\ 0, &\text{ gdy } p-1 > 0,\end{array}\right. $

a zatem

$ \int\limits_a^ {+\infty} \frac{dx}{x^p}=\left\{\begin{array}{ll}+\infty, & \text{ gdy } p < 1, \\ \frac{1}{(p-1)a^{p-1}}, & \text{ gdy } p > 1.\end{array}\right. $

Przypadek 2. $ p = 1 $.

$ \int\limits_a^{+\infty} \frac{dx}{x}=\lim\limits_{\beta \to +\infty} \ln x \Big|_a^{\beta}=\lim\limits_{\beta \to +\infty} (\ln \beta -\ln a)=+\infty. $

Reasumując, całka $ (\int_a^{+\infty} \frac{dx}{x^p}) $ jest zbieżna dla $ (p > 1) $, a rozbieżna dla $ (p \leq 1). $

Niewłaściwość całki ze względu na funkcję podcałkową (całka II rodzaju)

Sformułujmy teraz definicję całki niewłaściwej funkcji nieograniczonej określonej na przedziale ograniczonym.

Definicja 3: Całka niewłaściwa Riemanna II rodzaju w przedziale $ [a,b) $ lub $ (a,b] $

Niech $ (f:[a,b) \to \mathbb{R}) $ będzie funkcją całkowalną w sensie Riemmana na każdym z przedziałów domkniętych $ [a,\beta] $, przy czym $ ( a < \beta < b) $. Załóżmy, że funkcja $ (f) $ jest nieograniczona w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu $ (b) $. Całką niewłaściwą Riemanna II rodzaju funkcji $ (f) $ nazywamy granicę

$ \lim\limits_{\beta \to b^-} \int\limits_a^{\beta} f(x)dx $

i oznaczamy ją symbolem

$ \int\limits_a^b f(x)dx. $

Jeżeli powyższa granica istnieje i jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa $ \int_a^b f(x)dx $ jest zbieżna, natomiast jeżeli granica ta nie istnieje lub jest niewłaściwa, to mówimy, że całka niewłaściwa $ \int_a^b f(x)dx $ jest rozbieżna.

$Interpretacja geometryczna całki niewłaściwej Riemanna II rodzaju w przedziale $ [a,b) $$

Rysunek 4: Interpretacja geometryczna całki niewłaściwej Riemanna II rodzaju w przedziale $ [a,b) $

W analogiczny sposób definiujemy całkę niewłaściwą Riemanna II rodzaju w przypadku, gdy funkcja $ (f:(a,b] \to \mathbb{R}) $ jest całkowalna w sensie Riemmana na każdym z przedziałów domkniętych $ [\alpha, b] $, przy czym $ (a < \alpha < b) $, oraz jest nieograniczona w prawostronnym sąsiedztwie punktu $ (a) $. Wówczas przyjmujemy, że

$ \int\limits_a^b f(x)dx:=\lim\limits_{\alpha \to a^+} \int\limits_{\alpha}^b f(x)dx. $

W tej sytuacji analogicznie jak wyżej definiuje się pojęcia zbieżności i rozbieżności całki niewłaściwej.

$Interpretacja geometryczna całki niewłaściwej Riemanna II rodzaju w przedziale $ (a,b] $$

Rysunek 5: Interpretacja geometryczna całki niewłaściwej Riemanna II rodzaju w przedziale $ (a,b] $

Definicja 4: Całka niewłaściwa Riemanna II rodzaju w przedziale $ (a,b) $

Niech $ (f:(a,b) \to \mathbb{R}) $ będzie funkcją całkowalną w sensie Riemmana na każdym z przedziałów domkniętych $ [\alpha,\beta] $ , przy czym $ (a < \alpha < \beta < b) $. Załóżmy, że funkcja $ (f) $ jest nieograniczona w pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu $ (a) $ oraz
w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu $ (b) $. Całkę niewłaściwą Riemanna II rodzaju funkcji $ (f) $ w $ (a,b) $ definiujemy jako

$ \int\limits_{a}^{b} f(x)dx = \int\limits_{a}^{c} f(x)dx + \int\limits_{c}^{b} f(x)dx, $

gdzie $ (c) $ jest dowolnie wybranym punktem z $ ( (a, b) ) $. Jeżeli obie całki po prawej stronie powyższej równości są zbieżne, to mówimy, że całka $ (\int_{a}^{b} f(x)dx) $ jest zbieżna. Gdy któraś z tych całek nie istnieje lub jest rozbieżna, to mówimy, że całka niewłaściwa $ (\int_{a}^{b} f(x)dx) $ jest rozbieżna.

Przykład 3:

Obliczmy całkę $ ( \int_0^1 \frac{dx}{(x-1)^2}) $. Zauważmy, że $ ( \lim\limits_{x \to 1^-} \frac{1}{(x-1)^2}= + \infty ) $, a zatem funkcja podcałkowa jest nieograniczona
w lewostronnym sąsiedztwie punktu $ (1) $. Na początku znajdźmy następującą całkę nieoznaczoną:

$ \int \frac{dx}{(x-1)^2}=\left| \begin{array}{c}t=x-1 \\ dt=dx \\ \end{array}\right|= \int\frac{1}{t^2}dt=- \frac{1}{t}+C=-\frac{1}{x-1}+C. $

Otrzymujemy zatem

$ \int\limits_0^1 \frac{dx}{(x-1)^2}=\lim\limits_{\beta \to 1^-}\int\limits_0^\beta \frac{dx}{(x-1)^2}=\lim\limits_{\beta \to 1^-}\Big(- \frac{1}{x-1}\Big)\Big|_0^{\beta}=\lim\limits_{\beta \to 1^-}\Big(\frac{-1}{\beta-1} -1\Big)=+\infty, $

a więc rozpatrywana całka niewłaściwa jest rozbieżna.

Obliczmy teraz całkę podobną do tej z przykładu 2, w którym przedział całkowania był nieograniczony. Po wykonaniu poniższych obliczeń warto porównać wyniki uzyskane w obu przykładach.

Przykład 4:

Przy ustalonej liczbie $ (b > 0) $ zbadajmy zbieżność całki $ (\int_0^b \frac{1}{x^p} dx) $w zależności od wartości parametru $ (p \in \mathbb{R}). $

Przypadek 1. $ p \neq 1 $.

$ \begin{aligned}\int\limits_0^b \frac{dx}{x^p} &= \int\limits_0^b x^{-p} dx=\lim\limits_{\alpha \to 0^+} \int_{\alpha}^b x^{-p} dx=\lim\limits_{\alpha \to 0^+} \frac{x^{-p+1}}{-p+1} \Big|_{\alpha}^b\\ &= \lim\limits_{\alpha \to 0^+} \frac{1}{(1-p)x^{p-1}} \Big|_{\alpha}^b=\frac{1}{1-p} \lim\limits_{\alpha \to {0^+}} \Big( \frac{1}{{b}^{p-1}} - \frac{1}{{\alpha}^{p-1}}\Big).\end{aligned} $

Zauważmy, że

$ \lim\limits_{\alpha \to 0^+} \frac{1}{{\alpha}^{p-1}}=\left\{\begin{array}{ll}0, & \text{ gdy } p-1 < 0, \\ +\infty, & \text{ gdy } p-1 > 0,\end{array}\right. $

a zatem

$ \int\limits_0^b \frac{dx}{x^p}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{b^{1-p}}{p-1}, & \text{ gdy } p < 1, \\ +\infty, & \text{ gdy } p > 1.\end{array}\right. $

Przypadek 2. $ p = 1 $.

$ \int\limits_0^b \frac{dx}{x}=\lim\limits_{\alpha \to 0^+}\int\limits_{\alpha}^b \frac{dx}{x}=\lim\limits_{\alpha \to 0^+} \ln x \Big|_{\alpha}^b=\lim\limits_{\alpha \to 0^+}(\ln b - \ln \alpha)=+\infty. $

Reasumując, całka $ (\int_0^b \frac{dx}{x^p}) $ jest zbieżna dla $ (p < 1) $, a rozbieżna dla $ (p \geq 1) $.

Matematyka